Fractales

Fractales

                  1)    NO ENCONTRADA

2)           El experto en matemática Benoît Mandelbrot fue el responsable de desarrollar, en 1975, el concepto de fractal, que proviene del vocablo latino fractus (puede traducirse como “quebrado”). El término acuñado por el francés pronto fue aceptado por la comunidad científica e incluso ya forma parte del diccionario de la Real Academia Española (RAE).

Un fractal es una figura, que puede ser espacial o plana, formada por componentes infinitos. Su principal característica es que su apariencia y la manera en que se distribuye estadísticamente no varía aun cuando se modifique la escala empleada en la observación.

Los fractales son, por lo tanto, elementos calificados como semi geométricos (por su irregularidad no pertenecen a la geometría tradicional) que disponen de una estructura esencial que se reitera a distintas escalas.

El fractal puede ser creado por el hombre, incluso con intenciones artísticas, aunque también existen estructuras naturales que son fractales (como los copos de nieve).

3)           Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso.

Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski:

Como puede verse, la estrategia más sencilla para conseguir un fractal es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas. Sin embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos.

               4)   CARACTERÍSTICAS DE LOS FRACTALES

Autosimilitud

Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

·                    Autosimilitud exacta: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

·                    Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.

·                    Autosimilitud estadística: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

                5)   Benoit Mandelbrot

(Varsovia, 1924) Matemático francés de origen polaco. Nieto del eminente matemático Szolem Mandelbrot, su familia emigró a Francia en 1936. Su tío se encargó personalmente de su educación y lo orientó hacia los trabajos de G. Julia sobre las iteraciones sobre el plano complejo. Tras familiarizarse con otras disciplinas científicas, como la física o la biología, Mandelbrot desarrolló la teoría de los fractales, formas geométricas complejas caracterizadas por la autosemejanza y capaces de describir aquellos fenómenos espaciales no uniformes para los que las formas geométricas euclídeas habituales resultan insuficientes. El ulterior desarrollo de la geometría fractal ha generado resultados susceptibles de encontrar aplicación en campos tan diversos como los de la mecánica estadística o la infografía.

                  6)   Copo de nieve de Koch

   El copo de nieve de Koch, también llamado estrella de Koch, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto. descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904.

   Su construcción se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia con un triángulo equilátero en el que finalmente cada uno de sus lados queda sustituido por lo que se llama una curva de Koch.

                      7)    Alfombra de Sierpinski

Es un fractal descrito por Sierpinski en 1916. (INCOMPLETO)

                      8)    Aplicaciones de los fractales

Pero los fractales no se quedan en una mera curiosidad matemática, y es que cuándo la naturaleza en su amplio espectro se basa en ellos por algo es. De hecho, los fractales tienen muchísimas aplicaciones en campos tan dispares como pueden ser las comunicaciones de redes, la biología, los mercados bursátiles o la música. Vamos a destripar sólo algunos de ellos.

·         Comunicaciones:

Se ha demostrado que el tráfico de paquetes a lo largo y ancho de internet sigue un modelo que se comporta como un fractal, de hecho, analizando gráficas del tráfico de datos a traves del tiempo, se puede apreciar la propiedad de autsimilitud, aunque realmente no lo es del todo, pero si que tiende a serlo. Gracias a estos modelados, se podrían disminuir las pérdidas de paquetes producidas por diversos motivos, y mejorar así el rendimiento de la red.

Otra utilidad de los fractales en el mundo de las comunicaciones está referida a la fabricación de antenas. Y es que una antena con forma de algún objeto fractal (como el que hemos descrito antes) puede mejorar el rendimiento del equipo en mucho menos espacio, ya que como vimos la longitud va rellenando el plano.

·         Medicina:

Es evidente el uso de instrumental informático cuyas infografías se basan en fractales. Además la forma de crecimiento de los tejidos también tiene un comportamiento fractal. De hecho, ciertas investigaciones relativas al cancer demuestran que el crecimiento de estos se rige por estos objetos geométricos, y es más, crecen en la frontera donde "hay hueco" y de forma lineal, no exponencial como se cree, investigaciones que han resultado bastante controvertidas en el mundo de la medicina.

·         Economía: 

Se ha comprobado que el cambio de los precios de los activos de las empresas tiene un comportamiento fractal, y por tanto, pueden ser estudiados utilizando el conocimiento que tenemos de ellos. Esto frena todo intento de encasillar en modelos estadísticos los mercados bursátiles, y basarse en modelos fractales para obtener mejores predicciones de cambio.

Otras utilidades de los fractales, ya sea en fase de experimentación o plenamente desarrolladas están abajo enumeradas:

·                    Informática: Técnicas de compresión (audio y vídeo).

·                    Robótica: Robots Fractales.

·                    Infografía: Paisajes fractales. Es una de las primeras aplicaciones de los fractales, y por tanto una de las más desarrolladas

·                    Evolución de poblaciones: Depredador-presa.

·                    Matemáticas: Convergencia de métodos numéricos.

·                    Música: Composición musical.

·                    Física: Transiciones de fase en magnetismo.

·                    Química: Agregación por difusión limitada (DLA).

·                    Geología: Análisis de patrones sísmicos, fenómenos de erosión, modelos de formaciones geológicas.