Matemática 1

1.   El Teorema De Fermat:

Pierre de Fermat fue un matemático “aficionado” francés del S.XVII, y entrecomillamos la palabra aficionado debido a que, aunque fue junto a Descartes el matemático francés más importante de su época, su profesión era jurista y solo estudiaba e investigaba matemáticas en sus ratos libres.

El resultado más famoso que se relaciona con nuestro protagonista es el conocido como Último Teorema de Fermat, en el que parece ser que el autor dijo una pequeña “mentira piadosa” que trajo de cabeza a la comunidad matemática durante casi cuatro siglos.

Fermat acostumbraba a escribir sus anotaciones y demostraciones en los márgenes de los libros que estudiaba y en su ejemplar de La Aritmética de Diofanto anotó lo siguiente:

Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado, en la suma de dos potencias de la misma clase. He descubierto para el hecho una demostración excelente. Pero este margen es demasiado pequeño para que (la demostración) quepa en él.

Escrito de forma más matemática, Fermat vino a decir que había demostrado que x^n + y^n ≠ z^n siempre que n sea mayor estricto que 2, pero que la demostración era demasiado grande como para escribirla en un margen. Por supuesto, aunque la afirmación es cierta, esa demostración nunca apareció.

Demostrar este resultado ha sido uno de los grandes retos de las matemáticas durante más de 300 años. Genios como Euler o Sophie Germain intentaron probar el resultado general, pero solo consiguieron demostrar casos particulares.

Para tener la demostración hubo que esperar a que Andrew Wiles demostrara en 1993 la Conjetura de Shimura-Taniyama-Weil, resultado a partir del cual, el Último Teorema de Fermat era trivial, pero la prueba contenía un error. Por fin en 1995, Wiles con la ayuda de Richard Taylor, subsanó ese fallo y se daba por demostrado en un artículo de más de 100 páginas (normal que no se pudiera escribir en el margen de un libro).

¿Pero si el resultado ha sido probado, por qué no se cree que Fermat lo demostró en su día y se perdió ese documento? Pues es debido a que para resolver este problema, durante los siglos XVIII y XIX se crearon nuevas ramas matemáticas y una gran cantidad de nuevos resultados de los cuales Fermat no disponía, y aunque a día de hoy aún hay matemáticos que intentan resolverlo con herramientas del S.XVII, todo apunta a dos opciones: o Fermat se pegó el farol más grande de la historia de las matemáticas o simplemente llegó a una conclusión errónea.

Link: http://www.matematicasdigitales.com/ultimo-teorema-de-fermat/

2.   Logaritmos Neperianos:

Un sistema de logaritmos neperianos posee como base al número irracional e que es igual a 2,718… con números infinitos, por eso se llama número irracional. Pero volviendo al tema de este sistema, también podrás encontrarlo como logaritmos naturales, sin embargo, son ligeramente distintos. Pues como condición, el número no puede ser menor que cero. Así se cumple esta condición para poder ser expresado como:

logex=lnx

La definición de logaritmo neperiano fue realizada por John Napier, del cual se deriva su nombre. Se trata de la función que está dada por algunos términos de logaritmos más modernos que obtiene la siguiente función:

Naplog(x)=log107xlog107107−1Naplog⁡(x)=log⁡107xlog⁡107107−1

¡El logaritmo natural es diferente de logaritmo neperiano!

Dada la división de logaritmos, la base que se pone en un logaritmo no tiene mucha importancia, ya que de todos modos se simplificaría. Entonces, con los términos actuales, el logaritmo no posee una base en particular y también podría ser escrito de la siguiente manera:

Naplog(x)=log107107−1107−log107107−1xNaplog⁡(x)=log107107−1⁡107−log107107−1⁡x

De esta manera se puede satisfacer las identidades del logaritmo ya que se trata de una función lineal de un logaritmo.

Para tener más clara la diferencia entre el logaritmo neperiano y el logaritmo natural, estos se relacionan de la siguiente manera:

Naplog(x)≈9999999.5(16.11809565−lnx)Naplog⁡(x)≈9999999.5(16.11809565−lnx)

Mientras que para diferenciarlo del logaritmo decimal, se podría marcar su relación como:

Naplog(x)≈23025850(7−log10x)Naplog⁡(x)≈23025850(7−log10x)

El Logaritmo Neperiano

Para obtener el logaritmo neperiano de 1 solo se debe saber que cualquier número que sea elevado a 0 es igual a 1, y que un logaritmo es aquel número por el cual se debe elevar una base para obtener el primer número. De tal forma que el logaritmo neperiano de 1 es igual a 0:

Naplog(1)=0Naplog⁡(1)=0

Por otro lado, el logaritmo neperiano de 2 es algo más complejo, ya que siempre la raíz cuadrada de 2 será un número imaginario, entonces para obtener el número por el cual se debe elevar al número e para alcanzar 2, es un número imaginario también, lo cual quiere decir que sus decimales son infinitos y por lo tanto, obtener una respuesta exacta es muy complejo. En todo caso, se puede decir que el logaritmo neperiano de 2 sería algo aproximado a 0.693147187056, el cual se obtiene al realizar la siguiente fórmula:

logb2=Naplog2Naplogblogb⁡2=Naplog⁡2Naplog⁡b

Logaritmo Neperiano Propiedades

Se puede tomar muy en cuenta las propiedades de los logaritmos neperianos para resolver la mayoría de las operaciones logarítmicas que involucran a este valor con mayor simplicidad. Esto es:

Naplog(a⋅(b))=Naploga+NaplogbNaplog⁡(a⋅(b))=Naplog⁡a+Naplog⁡b

Naplog(ab)=Naploga–NaplogbNaplog⁡(ab)=Naplog⁡a–Naplog⁡bNaplog(ab)=b⋅NaplogaNaplog⁡(ab)=b⋅Naplog⁡a
f′(x)=u′u

Derivada de Logaritmo Neperiano

La derivada de logaritmo neperiano se obtiene cuando se divide la derivada de la función por la función. Con la fórmula que se plantea abajo:

f(x)=lnuf(x)=lnu